在数学领域，不等式是研究变量间大小关系的重要工具。在初等数学中，有四个基本的不等式公式，它们是数学分析、代数以及几何问题解决中的基石。这四个基本不等式分别是：算术平均-几何平均不等式（AM-GM不等式）、柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）、赫尔德不等式（Hölder不等式）和闵可夫斯基不等式（Minkowski不等式）。以下是这些不等式的简要介绍：

1. 算术平均-几何平均不等式（AM-GM不等式）：

对于任何非负实数\(a_1, a_2, ..., a_n\)，算术平均值总是大于等于几何平均值，即：

\[

\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}

\]

等号成立当且仅当\(a_1 = a_2 = ... = a_n\)。

2. 柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：

在实数域或复数域中，对于任意两个向量\(\mathbf{x} = (x_1, x_2, ..., x_n)\)和\(\mathbf{y} = (y_1, y_2, ..., y_n)\)，都有：

\[

(\sum_{i=1}^{n} x_i y_i)^2 \leq (\sum_{i=1}^{n} x_i^2)(\sum_{i=1}^{n} y_i^2)

\]

这个不等式在证明其他不等式时非常有用，并且在数学的许多分支中都有应用。

3. 赫尔德不等式（Hölder不等式）：

设\(p > 1\)，\(q > 1\)满足\(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\)，则对于所有实数序列\((a_i)\)和\((b_i)\)，有：

\[

\sum_{i=1}^{n} |a_i b_i| \leq \left(\sum_{i=1}^{n} |a_i|^p\right)^{\frac{1}{p}} \left(\sum_{i=1}^{n} |b_i|^q\right)^{\frac{1}{q}}

\]

4. 闵可夫斯基不等式（Minkowski不等式）：

设\(p \geq 1\)，对于所有实数序列\((a_i)\)和\((b_i)\)，有：

\[

\left(\sum_{i=1}^{n} |a_i + b_i|^p\right)^{\frac{1}{p}} \leq \left(\sum_{i=1}^{n} |a_i|^p\right)^{\frac{1}{p}} + \left(\sum_{i=1}^{n} |b_i|^p\right)^{\frac{1}{p}}

\]

这个不等式可以看作是赫尔德不等式的推广形式，它在泛函分析中有着重要的地位。

以上四个不等式不仅是数学理论研究的基础，也是解决实际问题的强大工具，在优化理论、概率论、物理学等领域都有着广泛的应用。