向量是数学中一种重要的概念，广泛应用于物理、工程和计算机科学等领域。向量的运算主要包括加法、减法、数乘、点积和叉积等。这些运算是研究向量性质和解决实际问题的基础。

首先，向量的加法遵循平行四边形法则。设向量$\vec{a}=(a_1, a_2, a_3)$和$\vec{b}=(b_1, b_2, b_3)$，则它们的和为：

$$

\vec{a} + \vec{b} = (a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+b_3)

$$

这表示将两个向量首尾相接，结果向量的分量等于对应分量之和。

其次，向量的减法是加法的逆运算。对于$\vec{a}$和$\vec{b}$，其差为：

$$

\vec{a} - \vec{b} = (a_1-b_1, a_2-b_2, a_3-b_3)

$$

几何上，这相当于从$\vec{b}$的终点指向$\vec{a}$的终点。

数乘运算是指用一个标量（实数）乘以向量。若$k$为标量，则：

$$

k\cdot\vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3)

$$

数乘会改变向量的长度，若$k>1$则放大，若$0

点积（内积）用于衡量两向量之间的夹角余弦值。若$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$，其中$\theta$为两向量夹角，则其坐标形式为：

$$

\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3

$$

点积的结果是一个标量，可用于判断两向量是否正交（点积为零）。

最后，叉积（外积）产生一个新的向量，垂直于原两向量所在的平面。设$\vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}$，则：

$$

\vec{c} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3

\end{vmatrix}

= (a_2b_3-a_3b_2, a_3b_1-a_1b_3, a_1b_2-a_2b_1)

$$

叉积的大小等于两向量围成平行四边形面积，方向由右手定则确定。

综上所述，向量的五种基本运算涵盖了代数与几何层面，不仅在理论研究中有重要意义，在实践应用中也极为关键。掌握这些公式及其意义，有助于深入理解空间结构及动态变化规律。